/Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

Две группы ученых значительно продвинулись в доказательстве гипотезы о стабильности черной дыры — ключевого математического теста Общей теории относительности Эйнштейна.

Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

(Olena Shmahalo/Quanta Magazine)

В ноябре 1915-го года на лекции в Прусской академии наук Альберт Эйнштейн описал идею, которая перевернула наш взгляд на вселенную. Великий ученый отверг идею о стационарности геометрии пространства и времени и объяснил, что мы на самом деле живем в четырехмерной реальности, называемой пространственно-временным континуумом или просто пространство-время, чья форма колебается в ответ на воздействие материи и энергии.

Эйнштейн дополнил свою сенсационную теорию несколькими уравнениями, которые он прозвал “уравнениями поля”. Именно они и стали основой общей теории относительности. С тех пор уже в течение века эта теория выдерживает все экспериментальные тесты.

Но несмотря на то, что теория Эйнштейна по всей видимости описывает окружающий нас мир, ее математические основы остаются загадкой. Математикам удалось доказать лишь малую часть самих уравнений. Мы знаем, что они работают, но не можем объяснить почему. Даже Эйнштейну пришлось прибегнуть к приблизительным оценкам, а не конкретным решениям, чтобы увидеть вселенную через линзу собственной теории.

Тем не менее за последний год ученым удалось пролить немного света на математику общей теории относительности. Две группы привели доказательства, связанные с важной проблемой общей относительности, называемой гипотезой о стабильности черной дыры. Их работа доказывает, что уравнения Эйнштейна совпадают с физической интуицией того, как пространство-время должно себя вести: если его пошевелить, оно как желе немного потрясется, а затем вернется в стабильную форму, подобную той, с которой все и началось.

“Если бы решения были нестабильными, это бы означало, что они неверны физически. Они были бы математическим призраком, существующим только математически и не имеющим ценности с точки зрения физики,” — рассказывает Сергий Клайнерман (Sergiu Klainerman), математик из Принстонского университета, являющийся со-автором, вместе с Джереми Шефтелем (Jérémie Szeftel), одного из двух новых результатов.

Чтобы завершить доказательства, математикам понадобилось разрешить ключевую сложность в уравнениях Эйнштейна. Для описания изменений форма пространства-времени вам потребуется система координат, — вроде линий широты и долготы, — которая опишет, где находятся те или иные точки. Но в пространстве-времени, как и на Земле, сложно найти систему координат, которая бы подходила во всех случаях.

Потрясти Черную Дыру

Общая теория относительности описывает пространство-время как нечто подобное резиновому листу. При отсутствии материи лист остается совершенно плоским. Но начните ронять на него шарики — планеты и звезды, — и лист деформируется. Шарики катятся один к другому. И лист изменяется в ответ на движение объектов.

Уравнения поля Эйнштейна описывают изменения формы пространства-времени. Вы задаете параметры искривления и энергии в каждой точке, а уравнения показывают вам форму пространства-времени в будущем. В этом смысле уравнения Эйнштейна действуют как уравнения, моделирующие любой физический феномен: вот, где мяч находился в нулевой момент времени, а вот, где он будет спустя пять секунд.

Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

“Это математически точная количественная версия утверждения, что пространство-время искривляется в присутствии материи,” — говорит Питер Хинтц (Peter Hintz), обладатель награды Математического института Клэя, сотрудник Калифорнийского университета в Беркли и со-автор, совместно с Андраасом Васи (András Vasy), второго нового результата.

В 1916-м году, почти сразу после того, как Эйнштейн представил свою теорию общей относительности, немецкий физик Карл Шварцшильд нашел точное решение уравнений, которое описывает то, что мы сегодня зовем черной дырой (термин появится лишь спустя полвека). Позже физики найдут точное решение, описывающее вращающуюся черную дыру и электрически заряженную.

Они так и останутся единственными точными решениями, описывающими черную дыру. Если добавить к ней хотя бы еще одну, взаимодействие сил станет настолько сложным, что современные математические методы не способны разрешить их, за исключением отдельных уникальных ситуаций.

Но даже к этой ограниченной группе решений можно задать важные вопросы. Один такой вопрос появился из работы французского математика Ивонна Шоке-Брюа (Yvonne Choquet-Bruhat), опубликованной в 1952 году. Он звучит так: Что произойдет, если потрясти черную дыру?

Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

(Quanta Magazine/специально для Funscience)

Сегодня эта проблема известна под названием “Гипотеза о стабильности черной дыры”. В гипотезе говорится, что решения уравнений Эйнштейна останутся “стабильными при возмущении”. Говоря простым языком, если вы потрясете черную дыру, пространство-время тоже затрясется сперва, но в итоге стабилизируется в форму, схожую с начальной. “Грубо говоря, стабильность означает, что если я возьму особые решения и немного их пошевелю, изменю самую малость данные, результат динамики будет очень близок к изначальному решению,” — поясняет Клайнерман.

Так называемая “стабильность” результатов — это важный тест для любой физической теории. Чтобы разобраться, почему это именно так, стоит рассмотреть пример, более обыденный для нас, чем черная дыра.

Представьте себе пруд. Теперь вообразите, что вы потревожили его, бросив камень. Вода немного похлюпает, но в конечном счете вернется в свое первоначальное состояние. С математической точки зрения решения уравнений, которые вы используете для описания пруда (в данном случае это уравнения Навье-Стокса), должны описывать эту базовую физическую картинку. Если изначальное и долгосрочное решение не совпадают, возникают вопросы к обоснованности самих уравнений.

“У этого уравнения могут быть любые атрибуты, оно может быть совершенно правильным математически, но если оно не соответствует тому, что вы ожидаете с физической точки зрения, оно не может быть верным уравнением,” — говорит Васи.

Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

Питер Хинтц, математик из Калифорнийского университета в Беркли, со-автор одной из статей с доказательствами.

Для математиков, работающих с уравнениями Эйнштейна, доказательства стабильности было сложнее найти, чем сами решения уравнений. Возьмем случай плоского, пустого четырехмерного пространства, также называемого пространством Минковского — самого простого варианта пространства-времени. Это решение уравнений Эйнштейна было обнаружено в 1908 году в контексте ранней специальной теории относительности Эйнштейна. Но только в 1993 математикам удалось доказать, что если возмутить плоское, пустое пространство-время, то в итоге получится то же плоское и пустое пространство-время. Это доказательство, полученное Клайнерманом и Деметриосом Кристодулу (Demetrios Christodoulou), является одним из важнейших достижений в данной области.

Одной из главных сложностей доказательств стабильности является контроль за тем, что происходит в пространстве-времени с изменением решения. Требуется система координат, которая позволит нам измерять расстояния и определять точки пространства-времени, также как линии широты и долготы позволяют определять местонахождение на Земле. Но не так то просто найти систему координат, которая бы работала в любой точке пространства-времени и тем более по прежнему была полезна, когда форма пространства-времени меняется.

“У нас нет ни одного “один-размер-подходит-всем” способа это сделать, — пишет Хинтц в сообщении. — Ведь вселенная не укажет вам на предпочитаемую систему координат.”

Проблема измерений

Первое, что нужно осознать: координатные системы — это изобретение человека. Второе: не каждая система координат подходит для определения каждой точки пространства.

Возьмем линии широты и долготы: они произвольны. Картографы были вправе посчитать любую из этих бесчисленных воображаемых линий за 0 градусов. И хотя широта и долгота отлично справляются с определением любой точки на Земле, на Северном и Южном полюсах эта система становится бесполезной. Если бы вы ничего не знали о Земле, и у вас был бы лишь доступ к данным о долготе и широте, вы могли бы прийти к неверному решению, что на полюсах творится нечно топологически странное.

Эта вероятность — получения неверных результатов о свойствах физического пространства, потому что система координат является неподходящей, — и лежит в основе того, почему так сложно доказать стабильность пространства-времени.

“Возможно так, что гипотеза о стабильности верна, но вы используете нестабильные координаты, и таким образом упускаете тот факт, что стабильность верна,” — говорит Михалис Дафермос (Mihalis Dafermos), математик из Кэмбриджского университета, ведущий ученый в изучении уравнений Эйнштейна.

В контексте гипотезы о стабильности черной дыры, какую бы вы ни использовали систему координат, она должна изменяться вместе с изменением формы пространства-времени — как плотно облегающая перчатка подстраивается под движение вашей кисти. Эта согласованность между координатной системой и пространством-временем должна быть хорошей как в начале, так и на протяжении изменений. Если согласованность не сохраняется, могут произойти два события, которые сведут на нет все попытки доказать стабильность.

Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру

Сергий Клайнерман, математик из Принстонского университета, со-автор одного из новых доказательств, и доказательства 25-летней давности, что плоское, пустое пространство-время сохраняет стабильность при возмущении.

Во-первых, ваша система координат может так изменить свою форму, что она сломается в некоторых точках, как ломается система долготы и широты на полюсах. Такие точки зовутся “координатными сингулярностями” (в отличие от физических сингулярностей aka реальных черных дыр). Это неопределяемые точки вашей координатной системы, которые не позволяют вам проследить за развитием решения до конца.

Во-вторых, неподходящая координатная система может скрыть физический феномен, который вы и пытаетесь измерить. Чтобы доказать, что решения уравнений Эйнштейна возвращаются в стабильное состояние после возмущения, математики должны тщательно следить за волнами в пространстве-времени, вызванными возмущением. Чтобы понять почему, вернемся к нашему пруду. Брошенный в воду камень вызывает волны. Стабильность пруда в долгосрочном периоде выводится из факта, что волны со временем затухают — они становятся все меньше и меньше, пока от них не остается и следа.

Схожая ситуация и в пространстве-времени. Возмущение вызывает каскад гравитационных волн, и чтобы доказать стабильность, нужно доказать, что волны со временем затухают. А чтобы доказать затухание, требуется система координат, — называемая “калибровкой”, — которая позволит вам измерить размер волн. Верная калибровка позволяет математикам следить за затуханием волн и их исчезновением.

“Затухание нужно измерять относительно чего-то, и вот тут то и появляется проблема калибровки, — рассказывает Клайнерман. — Если я не нахожусь в верной калибровке, хотя по сути у меня получается стабильность, я не могу доказать ее, потому что калибровка не позволяет мне видеть затухание. Если у меня нет пропорций затухания волн, я не могу доказать стабильность.”

Проблема в том, что хотя система координат является ключевой, не совсем понятно, какую из них выбрать. “У вас много свободы в выборе калибровки, — говорит Хинтц. — Но большинство вариантов не подойдут.”

На шаг ближе

Полное доказательство гипотезы о стабильности черной дыры требует доказательства того, что все известные решения для черных дыр системы уравнений Эйнштейна (в том числе с вращением дыры ниже определенного предела) возвращаются к стабильности после возбуждения. Эти известные решения включают в себя решение Шварцшильда, описывающее пространство-время невращающейся черной дыры, и семейство решений Керра, которые описывают конфигурации пространства-времени с одной вращающейся черной дырой (где свойства этой вращающейся черной дыры — масса и вращательный момент — разнятся в пределах семейства решений).

Оба новых результата продвигают нас на шаг ближе к полному доказательству гипотезы.

Хинтц и Васи в работе, опубликованной на сайте научных препринтов arxiv.org в 2016 году, доказали, что медленно вращающаяся черная дыра стабильна. Но их работа не покрывала черные дыры, вращающиеся быстрее определенного значения.

К тому же их доказательство работает при условии некоторых допущений о природе пространства-времени. Изначальная гипотеза говорит о четырехмерном пространстве, которое не только плоское и пустое, но и имеет фиксированный размер. В доказательстве Хинтца и Васи используется так называемая модель де Ситтера, в которой пространство-время ускоряются во вне как и в нашей вселенной. Это изменение делает проблему проще с технической точки зрения, что несложно оценить и на примере нашего пруда: если мы роняем камень в расширяющийся пруд, расширение растянет сами волны, и колебания затухнут быстрее, чем в обычном пруду.

“Мы смотрим на вселенную, которая с ускорением расширяется, — говорит Хинтц. — Это делает проблему немного проще, так как это сглаживает гравитационные волны.”

У работы Клайнермана и Шефтеля свой оттенок. Их доказательство, первая часть которого было опубликована онлайн в прошлом ноябре, работает в пространстве-времени Шварцшильда — этот вариант ближе к оригиналу и является более сложным. Они доказывают стабильность невращающейся черной дыры, но не говорят о случаях, когда дыра вращается. К тому же они приводят доказательства стабильности решений черный дыр для очень узкого класса возмущений — когда создаваемые гравитационные волны определенным образом симметричны.

Оба результата используют новые методы поиска подходящей для решения системы координат. Хинтц и Васи начали с примерного решения уравнений, основываясь на приближенной системе координат, и постепенно повышали точность ответа, пока не пришли к точным решениям и правильному поведению координат. Клайнерман и Шефтель применили более геометрический подход к задаче.

Две команды сейчас пытаются достроить свои методы, чтобы прийти к полному доказательству гипотезы. Некоторые эксперты утверждают, что это произойдет совсем скоро.

“Я думаю, что сейчас уже дело осталось за техническими сложностями, — говорит Дафермос. — Уже не нужны новые идеи для решения проблемы.” Он отметил, что к итоговому доказательству может прийти любой из огромного количества математиков, трудящихся над этим вопросом.

Более 100 лет уравнения Эйнштейна служили верным пособием для экспериментов по нашей вселенной. И вот теперь математики приблизились к объяснению, почему они так хорошо работают.

Не забывайте подписываться на наш канал Фансаенс

13.03.2018 Подписывайтесь на наш канал в Яндекс.Дзен | Чтобы проверить уравнения Эйнштейна, нужно ткнуть черную дыру